16.12.2024

Математики случайно открыли две новые бесконечности

Возможности могут быть буквально безграничны.

Бесконечность содержит в себе все, включая множественные виды бесконечностей.

Математикам давно известно, что существует множество видов бесконечностей (технически их существует бесконечное множество).

Математики открыли два новых вида бесконечности — точную и сверхточную — которые, на первый взгляд, противоречат основам математики.

Концепция « бесконечности » на первый взгляд кажется простой, но становится все более сложной, чем больше вы думаете об этом. Бесконечность означает бесконечную последовательность чисел, которая заканчивается, ну, бесконечностью . Но это также требует, чтобы технически существовало бесконечное количество бесконечностей, образующих иерархию все большей сложности.

Ученые и математики десятилетиями спорили о природе бесконечности и уже более века знают , что существует более одного вида. Например, одна бесконечность — та, с которой большинство людей знакомо — это бесконечный набор натуральных чисел: 1, 2, 3 и так далее. Однако существует также бесконечный набор действительных чисел, включающий отрицательные и десятичные числа. Продолжайте следовать этому ходу мыслей, и вы создадите бесконечный набор бесконечностей.

Недавно математики из Венского технического университета в Австрии и Барселонского университета открыли два новых вида бесконечностей, известных как точные и сверхточные кардиналы. Эти бесконечностей не совсем следуют стандартной лестнице бесконечностей из-за своих необычных свойств. Исследователи подробно описали эти новые бесконечные множества в статье, опубликованной на нерецензируемом сервере препринтов arXiv

«Люди придумывают все более и более обширные понятия бесконечности», — сказал Хуан Агилера, соавтор статьи из Венского технического университета, New Scientist . «Вы можете посмотреть на все предыдущие, которые придумали люди, и вы можете вписать их в иерархию […] они не совсем вписываются в эту линейную иерархию. Они очень, очень странно взаимодействуют с другими понятиями бесконечности».

New Scientist описал точные кардиналы как настолько большие, что они содержат копии самих себя — что-то вроде дома со множеством полномасштабных копий самого себя внутри. Сверхточные копии дополнительно включают математические правила того, как их создавать, «как будто вложенный дом также был оклеен обоями с чертежами самого себя».

Однако все становится не так, когда сравниваешь эти новые бесконечности с основополагающей концепцией математики, известной как Аксиома выбора, которая гласит, что можно создать новый набор чисел , выбирая числа из других наборов. Это делит бесконечности на три категории: бесконечности, которые придерживаются этой теории множеств (наборы натуральных чисел, целочисленные наборы и т. д.), бесконечности настолько большие, что они по сути являются математикой хаоса, и бесконечности, которые существуют где-то посередине. Хотя исследователи считали, что точные и сверхточные кардиналы вписываются в эту промежуточную область, они не смогли их точно определить.

«Не совсем ясно, находятся ли они наверху этой средней области, где аксиомы по-прежнему совместимы со всеми другими аксиомами теории множеств, или они образуют четвертую область, которая находится как бы сбоку от хаотической области, но поверх предыдущих», — рассказал Агилера изданию New Scientist .

Это может противоречить идее, известной как «Наследственно порядковая определимость», которая предполагает, что бесконечности могут стать настолько большими, что Аксиома выбора навязывает порядок вместо противоречия . Но эти кардиналы в настоящее время, похоже, бросают вызов этому предположению.

Конечно, эти бесконечности еще не приняты широким математическим сообществом. Но независимо от их потенциального подтверждения, похоже, что размышления о бесконечности не замедлятся в ближайшее время.